Esta entrada es una traducción fiel de un artículo escrito por Erik Rasmussen en su blog American in Spain, para ver el artículo original en inglés podéis pinchar aquí. Me ha parecido algo interesante y espero que os sirva de ayuda u os llame la atención tanto como a mi:
«La semana pasada cayó el diluvio, lo que por desgracia coincidió con que tenía que conducir 120 km. Me di cuenta de que cada vez que reducía la velocidad, la luna trasera se mojaba y se me volvía más difícil ver a través de ella. También observé que cuando volvía a acelerar y tras una pasada del limpiaparabrisas, se mantenía seca hasta que volvía a aminorar la marcha. Esta situación es bastante evidente para cualquiera que haya conducido alguna vez o cualquiera que piense un poco en la física de la situación: cuando conduces rápido, la lluvia no cae sobre el cristal trasero. De repente no pude evitar preguntar en voz alta: «¿Cuál será la velocidad mínima a la que podría ir sin que se moje la ventana trasera?». Mi mujer rápidamente dedujo que dependía del ángulo de la luna trasera. Esa afirmación hizo la pregunta original aún más interesante, porque... ¡introducía en la trama una ecuación! ¿Emocionante, verdad?
Hemos de definir el ángulo de la luna trasera como el ángulo formado hacia debajo de la horizontal, de la siguiente manera:
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| Ilustración de René van Belzen. |
Si nos paramos a pensarlo, y es algo que deberíamos hace, podemos deducir dos características de la trama de nuestra ecuación, a la que llamaremos “velocidad mínima a la que he de conducir para mantener seco mi cristal trasero, dado el ángulo Ɵ”. En primer lugar, cuando Ɵ es igual a 90º, la velocidad mínima será cero, ya que la lluvia, que para simplificar asumiremos que cae de manera totalmente vertical, nunca tocará el cristal aún en el caso de que estemos parados. Del mismo modo, conforme Ɵ se aproxima a los 0º, la velocidad mínima que tendremos que emplear para mantener seco el cristal trasero irá tendiendo a infinito. Hay que tener en cuenta que también ignoraremos las velocidades cercanas a la de la luz, propias de la física de Einstein, pues el modelo de Newton es más que suficiente para la velocidad a la que suelo conducir, no sé vosotros. Con todo esto podemos dibujar un gráfico que baje desde infinito recorriendo el eje X, manteniendo siempre una pendiente negativa, hasta que lo corta en los 90º.
El tiempo que tarda la lluvia en recorrer verticalmente la altura de nuestra ventana será la altura dividida por la velocidad terminal de la lluvia. Y el tiempo que emplea el coche en moverse horizontalmente la longitud de la ventana será la longitud dividida por la velocidad del coche. Cuando esos dos tiempos sean iguales, el coche estará viajando a la velocidad mínima para mantener seco el cristal trasero.
Vale, ya tenemos nuestra ecuación, pero tenemos demasiadas variables. Necesitamos encontrar una forma de escribir h en función de l, y necesitamos una velocidad para la lluvia.
Unos conocimientos básicos de trigonometría nos dicen que la tangente del ángulo de un triángulo rectángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente, entonces:
Ya podemos reemplazar la h de nuestra ecuación anterior, obteniendo:
La longitud se anula, y obtenemos la ecuación final:
Hay dos cosas que me gustan sobre esto. Ni la altura o la longitud de la ventana en realidad importan, justo como el cerebro de mi mujer intuyó hábilmente. Lo segundo es que por supuesto que interviene la operación con la tangente, ya que se dispara a infinito, pero se relaja al acercarse al eje X. Como necesitamos que se dispare a un infinito positivo junto al eje Y, hemos de invertirla. Lo que me encanta de las matemáticas y la física es lo intuitivas que pueden llegar a ser. Mis lectores matemáticos seguramente ya estarían pensando sobre la función inversa de la tangente cuando discutía sobre la estructura general de los datos, sobretodo teniendo en cuenta que había un ángulo involucrado, y por ello la trigonometría también estaba presente. ¡Sigamos!
Esperad, antes de seguir he de irme un poco por la tangente... (chistes de trigonometría...). Tras terminar de escribir esta publicación, estando tirado en la cama tratando de no pensar en ángulos e hipotenusas, se me ocurrió que la tangente solo tenía que invertirse por mi arbitraria definición sobre dónde comenzábamos a medir el ángulo. Si definimos como 0º el vector que apunta directamente hacia abajo (la dirección en la que cae la lluvia) y medimos el ángulo en dirección contraria al movimiento del coche, tendremos un argumento que empieza a 0 km/h a 0º y va hasta ∞ km/h a 90º, ¡justo lo que hace la función coseno normal, sin modificar! ¡Pero esperad, este modelo matemático se vuelve aún mejor! ¿Qué pasaría si aumentáramos el ángulo más de 90º (a modo de alerón)? La función tangente se vuelve negativa y llega a 0 km/h a 180º, lo que aún describe con precisión la velocidad a la que el coche debería moverse para mantener seca la luna trasera, ¡ya que debería ir muy rápido marcha atrás, y luego menos rápido según el ángulo se aproxime a los 180º verticales! Esta es exactamente la aplicación de los principios matemáticos a la vida real que no se ven en nuestro sistema educativo. De cualquier modo, creo que ha sido fantástico, pero volviendo al hilo de la publicación...
Necesitamos asignar una velocidad a la lluvia. ¿Cuál es la velocidad terminal de una gota de lluvia? Preguntando a internet, me ha dicho que una pequeña gota de lluvia estratiforme cae a unos 7,4 km/h, y la gota más grande posible (no pueden ser mayores de 5mm o se romperían) de una gran nube de tormenta cae con una velocidad de hasta 32,2 km/h. Nosotros estamos tratando de garantizar una luna seca, por lo que usaremos el caso de los 32,2 km/h.
Cuando sustituimos en la ecuación la velocidad de la lluvia por los 32,3 km/h y pasamos de radianes a grados, nuestra ecuación final queda así:
¡Y ya estamos listos para dibujarla! Redoble por favor...
Exactamente lo que esperábamos, ¿no?
EJEMPLOS:
Este Wolsely Hornet tiene una luna trasera con un ángulo de 57º. Eso significa que si circula a más de 21 km/h incluso bajo la peor de las tormentas (de lluvia absolutamente vertical), su luna trasera no llegará a mojarse. ¿No es increíble? A mí me parece despacio.
Este Peugeot 203 Limousine tiene una luna trasera con un ángulo de 35º, por lo que necesitará acelerar hasta los 46 km/h para que la lluvia no llegue a tocar el cristal. Como era de esperar, si tu ventana tiene un ángulo de 45º, la velocidad que necesitarás será de 32,2 km/h, exactamente la velocidad de la lluvia.
Y por último, este Porsche tiene una luna trasera con un ángulo de 16º, por lo que la velocidad que deberá desarrollar será de algo más de 112 km/h. Como os imaginais, eso no es ningún problema para un Porsche, pero podemos observar como las velocidades incrementan rápidamente según nos acercamos a la horizontal, debido a la naturaleza de la función tangente.
Puedo decir que mi curiosidad en este tema se ha visto más que satisfecha, y espero que hayáis aprendido algo. Las matemáticas nos rodean y nos enseñan cosas del mundo a través del pensamiento, lápiz y papel. ¿No es impresionante?»
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